Géométrie dans l'espace
À l’aide
d’une méthode de représentation de l’espace, la perspective cavalière, on peut
étudier comment, dans l’espace, droites et plans peuvent être placés les uns
par rapport aux autres.
Si l’on se
cantonne à un plan de l’espace, les techniques de démonstration vues au collège
restent valables, mais de nouvelles propriétés sont nécessaires pour déterminer
les intersections de droites et de plans dans l’espace.
1. Comment représenter l’espace ?
Le problème
de la représentation de l’espace sur un support en deux dimensions a été résolu
de différentes façons selon l’objectif poursuivi.
Les peintres
utilisent souvent une perspective avec un point de fuite car les dessins
ainsi obtenus sont proches de la perception visuelle que nous avons de
l’espace. Dans cette représentation, des droites parallèles peuvent être
représentées par des sécantes.
En
mathématiques, on privilégie la perspective cavalière qui a l’avantage
de représenter des points alignés par des points alignés et des droites
parallèles par des droites parallèles.
La
perspective cavalière conserve le milieu et les rapports des longueurs pour des
segments parallèles. Les figures qui sont dans un plan vu de face sont
représentées à l’échelle, sans déformation. Les parties cachées des figures sont
représentées en pointillé. La figure ci-dessous est la représentation en
perspective cavalière d’un prisme régulier à base hexagonale.
2. Comment caractériser la position
relative de deux objets de l’espace ?
Deux droites qui
appartiennent à un même plan sont dites coplanaires.
Dans
l’espace, si deux droites sont parallèles ou sécantes, alors elles sont
coplanaires, sinon elles sont non coplanaires.
Deux plans qui n’ont
pas de point commun sont parallèles. Sinon, ils sont soit confondus soit
sécants ; l’intersection de deux plans sécants est une droite.
Si une
droite n’a aucun point commun avec un plan, on dit qu’elle est
strictement parallèle à ce plan. Sinon, la droite est soit entièrement contenue
dans ce plan, soit sécante avec ce plan ; l’intersection d’une droite et
d’un plan est un point.
3. Quand parle-t-on d’orthogonalité dans
l’espace ?
Deux droites de l’espace
sont orthogonales, si les parallèles à ces droites passant par un point
quelconque donné sont perpendiculaires.
Une droite
est orthogonale ou perpendiculaire à un plan s’il existe deux
droites sécantes de ce plan qui sont orthogonales à cette droite.
Si une
droite est orthogonale à un plan, alors elle est orthogonale à toutes les
droites de ce plan.
La
droite s est orthogonale au plan (ABC) car elle est
perpendiculaire aux droites d et d’.
Remarque
Deux droites
perpendiculaires sont aussi orthogonales. Mais deux droites orthogonales ne
sont pas toujours perpendiculaires. En effet, deux droites perpendiculaires
sont sécantes, donc dans un même plan, alors que deux droites orthogonales
peuvent être non coplanaires.
4. Quelles propriétés utilise-t-on pour
démontrer dans l’espace ?
Dans tout
plan de l’espace, les propriétés de la géométrie plane restent valables.
Dans
l’espace, si deux droites sont parallèles à une même droite,
elles sont parallèles entre elles.
Par exemple,
on veut démontrer que les arêtes (AA’) et (CC’) du prisme régulier
droit à base hexagonale P sont parallèles. On utilise le fait que les
faces latérales sont des rectangles et la propriété précédente. ABB’A’ est un
rectangle donc (AA’) // (BB’) ; BB’C’C est un rectangle donc
(BB’) // (CC’) ; (AA’) et (CC’) sont parallèles à la même
droite (BB’), donc elles sont parallèles. On démontre ainsi que toutes les
arêtes latérales du prisme sont parallèles.
Dans
l’espace, si deux droites sont parallèles, tout plan qui contient l’une est
parallèle à l’autre ou la contient.
Si deux
plans sont parallèles, tout plan sécant avec l’un est sécant avec l’autre
et les intersections sont deux droites parallèles.
Cette
propriété est illustrée par la figure ci-dessous où les plans (ABCD)
et (PQRS) sont parallèles. Le plan (NMKL) les coupe suivant les
droites (EF) et (GH) qui sont donc parallèles. On utilise cette
propriété quand on doit, par exemple, tracer une section d’un parallélépipède.
Si d
et d’ sont deux droites parallèles contenues respectivement dans des
plans P et P’ sécants, alors l’intersection des plans P
et P’ est une droite parallèle à d et à d’. Cette
propriété, dite théorème du toit, est utilisée, par exemple, pour
montrer que les arêtes d’un polyèdre sont parallèles.
À retenir
absolument
Deux plans
peuvent être sécants, parallèles ou confondus. S’ils sont sécants alors leur intersection
est une droite.
Deux droites
sont coplanaires (elles sont alors parallèles ou sécantes) ou non coplanaires.
Une droite
est sécante ou parallèle à un plan.
Si deux
plans sont parallèles, tout plan sécant avec l’un est sécant avec l’autre et
les intersections sont des droites parallèles.
Deux droites
dans l’espace sont orthogonales si les parallèles à ces droites passant par un
point quelconque donné sont perpendiculaires. Une droite est orthogonale à un
plan si elle est perpendiculaire à deux droites distinctes de ce plan.
Si une
droite est orthogonale à un plan, alors elle est orthogonale à toutes les
droites de ce plan.